플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)이란?

플로이드 워셜 알고리즘(Floyed-Warshall Algorithm)은 모든 정점에서 모든 정점 사이의 최단 경로를 찾는 알고리즘이다.

다익스트라 알고리즘이 하나의 정점에서 모든 정점 사이의 최단 경로를 찾는 것과는 차이가 있다. 또한 가중치를 음수와 양수

모두 가질 수 있다는 점도 다르다. 플로이드 워셜 알고리즘의 기본 동작 원리는 다음과 같다.

1. 최단 거리 테이블을 만든다. 이때, 초기 주어진 조건으로 하나의 정점에서 다른 정점으로
    바로 갈 수 있는 경우 그 값으로, 갈 수 없는 경우 무한대로 테이블을 초기화한다. 
2. 모든 정점에 대하여 해당 정점을 지나 다른 정점으로 이동할 때의 거리를 구하고, 
    기존의 거리와 비교하여 그 거리가 더 짧다면 테이블의 값을 갱신한다.

    점화식으로 표현하자면 다음과 같다.
    정점 a에서 b로 가는 최단 거리는 [정점 a에서 b로 바로 가는 거리]와
    [정점 a에서 정점 k, 다시 정점 k에서 정점 b로 가는 경우를 더한 거리] 중 더 짧은 거리이다.
                         
                         Distance(ab) = min(Distance(ab), Distance(ak) + Distance(kb))

초기 그래프

정점	1	2	3	4
1	0	2	INF	4
2	2	0	INF	5
3	3	INF	0	INF
4	INF	2	1	0

 

정점 1을 경유하는 경우를 갱신한다.

정점	1	2	3	4
1	0	2	INF	4
2	2	0	INF	5
3	3	5(3-1-2)	0	7(3-1-4)
4	INF	2	1	0

 

정점 2를 경유하는 경우를 갱신한다.

정점	1	2	3	4
1	0	2	INF	4
2	2	0	INF	5
3	3	5	0	7
4	4(4-2-1)	2	1	0

 

정점 3을 경유하는 경우를 갱신한다(갱신할 것이 없다).

정점	1	2	3	4
1	0	2	INF	4
2	2	0	INF	5
3	3	5	0	7
4	4	2	1	0

 

정점 4를 경유하는 경우를 갱신한다.

정점	1	2	3	4
1	0	2	5(1-4-3)	4
2	2	0	6(2-4-3)	5
3	3	5	0	7
4	4	2	1	0

 

▶ 구현 코드

NF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 정점의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()